o1 pro에게 대학생 수학경시대회 풀게 하기

---

대수경 = 대학생 수학경시대회

kmo 등의 수학경시대회는 보통 고등학생 이상까지만 (즉, 대학 수학을 배우지 않은 사람만) 참가가 가능한데 대수경은

대학 수학 교육을 받은 사람들을 대상으로 하는 수학 경시대회

kmo 등 중등 수학경시대회보다 더 어려울 거라고 생각하기 쉽지만 

사실은 중등교육과정이랑 고등교육과정을 둘 다 비슷한 정도로 알고 있다는 가정 하에 더 높은 지적 능력을 요구하지는 않고, 

보통 2-3문제 정도만이 발상적으로 어려운 문제가 출제되긴 함

그래도 역시 대한수학회에서 수학 교수님들이 출제하는 문제인 만큼 퀄리티는 좋고 수학 능력을 평가하기 좋음

2023년도 문제

———————————————————————

1번은 극좌표에서 적분으로 넓이 구하는 문제고, 미적분학 같은 데에 연습문제 정도로 나올 만한 문제임

과학고 학생들은 2-3학년 때 배우고, 이공계 대학교 1학년에서 배울 정도로 쉬운 문제

1번 : 정답 (2분 25초)

——————————————————————–

2번은 간단한 개념 문제

그냥 고윳값과 고유벡터 정의만 알면 풀 수 있는 문제고, T^2 (A) = A 인 거 이용해서 

characteristic polynomial 로 서술해도 됨

2번 : 정답 (38초)

———————————————————————-

3번은 계산 문제로, theta'(t) 를 계산해서 부호만 판별하면 됨

3번 : 정답 

——————————————————————————-

4번은 정수를 어떤 정수들의 합으로 표현하는 방법의 수에 관한 조합론 문제

언뜻 봐서는 뭔가 점화식 같은 걸 이용할 것 같지만, 사실은 생성함수를 이용해서 구할 수 있다는 방법이 알려진

신기한 문제임

이 문제처럼 n을 {1, 2, 4, 8, …}의 원소들의 합으로 나타내는 방법의 수를 구할 때

(1 + x + x^2 + x^3)(1 + x^2 + x^4 + x^6)(1 + x^4 + x^8 + x^12)…

라는 식을 전개해서 x^n 의 계수를 보면 된다는 뜻

생성함수 발상해낸 것까지는 좋았는데, 

처음엔 답을 이렇게 적었길래 더 간단한 형태로 표현할 수 있는 방법을 찾아보라고 함

이후 생성함수 변형한 식에서의 x^n의 계수는 i + 2j = n 을 만족하는 (i, j) 순서쌍의 개수라는 걸 알아내서 정답

이미 좀 알려진 테크닉이긴 하지만, 처음에 답을 저렇게 쓰고 이후에 고친 걸 보면 풀이를 어디서 그대로 베껴온 게 아니라

스스로 발상해냈다고 봐야 하지 않을까 싶음

4번 : 정답 

—————————————————————

5번

선형대수학 eigenvalue 관련 문제

(1)번은 이미 잘 알려진 정리이고, (2)번은 그걸 응용해서 증명하는 문제

근데 이새기 왜 갑자기 영어로 대답함?

(2)번 증명할 때 처음에 증명에 오류 있길래 다시 하라고 함

두 번째 시도에서는 (BA-I)^2 = 2(BA-AB) 로 변형하고, trace=(eigenvalue의 합) 까지 생각한 건 좋았는데,

eigenvalue 제곱합을 구할 때 eigenvalue가 복소수일 수도 있는데 이게 항상 0 이상이라고 생각해버림.

(켤레복소수끼리 제곱합을 구해도 0보다 작을 수 있음)

대충 읽으면 맞다고 생각할 수도 있지만 틀린 내용이고, 실제로 이 논증과정이 올바르지 않다는 반례 행렬을 찾을 수도 있음.

아무튼 아직까지는 이 정도 깊이(수학과 학부 과정) 에서 발생하는 환각은 내부 검증 과정에서 놓치는 듯함

이후 힌트 주면서 다시 시도해봤는데도 실패

5번 : 오답 (증명 과정에서 오류)

————————————————————————————————-

6번은 정수론 문제로, 식이 좀 복잡해 보이지만 사실은

(2023과 서로소인 수 x) x (2023과 서로소인 수 y) = (2023과 서로소인 수)

가 된다는 것과, x가 고정돼있을 때 y를 변화시켜가면서 더하면 결국 우변은 2023과 서로소인 수가 전부 한번씩 나온다는 걸 이용하면 쉽게 풀 수 있음

그리고 그걸 잘 캐치해내고 식까지 완벽하게 쓴 후 합을 잘 구함. (채점자가 누구라도 만점을 줄 수준)

그냥 패턴을 파악해서 푼 거 아니냐? 라고 하면 그건 그렇지만,

이 정도 응용문제에서 만약 인간이 수식까지 완벽하게 쓰고 계산실수 없이 답을 잘 구해냈다면

누구라도 그 인간 보고 “잘 이해했구나.”라고 할 거임.

이걸 1트만에 잘 풀었다는 건 언어모델임에도 신기하게 이런 수학적 지식들을 잘 “이해하고 있다”는 뜻

6번 : 정답 (1분 19초)

——————————————————————————

7번은 맨 위 사진에 나와있지는 않은데 이 문제

양변에 로그를 씌우든 네제곱을 하든 변형해서 테일러전개식을 쓴 후에, 복잡한 계산과정과 수학적 귀납법 등을 동원해서 

a_n이 음이 아닌 정수임을 보여야 하는 문제

언뜻 보기는 쉬워보이는데 괜히 7번 문제가 아니듯이 계산과정이 꽤 복잡하고 중간에 수학적 귀납법에서 귀납가정도 잘 써야함.

처음에는 a_n 을 그냥 막무가내로 계산 노가다로 구하려고 하다가,

좀 복잡한 식 나오니까 “음 이건 자명하진 않은데 보통 이런 합 구하다보면 전부 다 날라가서 정수됨ㅇㅇ” 이 ㅈㄹ 하고 앉았음ㅋㅋㅋ

좀 더 엄밀히 계산하고 계산과정 보여달라고 말하니까 접근 방향 바꿔서 잘 쓰긴 하더라

근데 이후에도 점화식은 잘 썼는데 계산 과정 틀리고 논리 전개도 틀리길래 한 3번 정도 바로 잡아줌

4트째에 성공

7번 : 정답 (4분 8초, 4트)

——————————————————————

결과 : 7문제 중 5문제 1트만에 정답,

         가장 어려운 7번 4트째에 제대로 풀어냄

결론 : 아직 계산 말고 증명 같은 부분에서 조금 복잡해지면 논리 전개에서 실수를 보일 때가 있음

특히 부호 판별을 좀 헷갈려 하는 것 같고, 내 생각엔 “그럴 듯한” 증명을 써놓으면 검증 모델이 제대로 검증을 못 해서

못 걸러내는 게 아닐까 싶음

그래도 수능~대수경 수준까지의 문제들은 어느 정도 잘 푸는 것 같고,

진짜 창의적인 발상이나 복잡한 사고를 필요로 하는 IMO나 Putnam 급은 아직 무리가 있지 않나 싶음

그래도 4o 나온지 반년, o1-preview 나온지 3개월 정도만에 이 정도면 정말 성장속도가 말이 안된다고 생각함

갠적으로 AlphaGeometry 가지고도 한번 테스트해보고 싶은데 걔는 자연어가 안 돼서 너무 피곤하더라…

  

특이점이 온다 갤러리